例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.
解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是
122364.
例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.
解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.
要被5整除，个位数只能是0或5.
再考虑被11整除.
（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.
（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.
满足条件的四位数只有两个：7040，7645.
例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？
，要使它被11整除，要满足
（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）
能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.
再介绍另一种解法.
先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.
要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.
43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504.
思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？
（答：1023495）
例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？
与上例题一样，有两种解法.
解一：从整除特征考虑.
这个七位数的最后一位数字显然是0.
另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.
1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：
1993500，1993320，1993680，
其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.
解二：直接用除式来考虑.
2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.
现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：
因为 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.
例7 下面这个41位数
能被7整除，中间方格代表的数字是几？
解：因为 111111＝3×7×11×13×37，所以
555555＝5×111111和999999＝9×111111
都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.
右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.
把55□99拆成两个数的和：
55A00＋B99，
其中□=A+B.
因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.
注意，记住111111能被7整除是很有用的.
