帅帅老师帮你盘点平面几何常考五大模型(6)

　　蝴蝶定理模型练习题

　　【练习1】：在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

　　【解答】：连接AE,根据蝴蝶定理可得S△AEF=S阴=15，

　　因为S△ABC=15×12÷2=90,所以S△ABF=90－15=75

　　再次用蝴蝶定理可求S△EFC=15×15÷75=3

　　所以SABCD=12×15+15+3=198

　　【练习2】：如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？

　　【解答】：本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况。

　　解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6*1.5/2*4+2*2=22，阴影部分的面积为6*6-22=14。

　　解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2：6=1：3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9/16，阴影部分的面积占该梯形面积的7/16，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7/16，那么阴影部分的面积为14。