如何培养数学思维

　　作为一名数学老师与数学研究者，我一直在思考，数学到底是怎样一个体系，应该怎么教授数学这一学科。接触的多了，思考的多了，有了一些自己的总结与心得，愿与大家分享。

　　首先的一个问题是，数学是什么?这个问题，从不同的角度来看，有不同的答案。一般来说，经典的定义是，数学是一门研究客观实在的数量关系和空间位置关系的一门学问。而我的回答则是，数学是一门语言。我们知道，语言的作用是交流，通过怎样的方式来交流呢?通过描述的方式来交流。也就是语言的作用主要体现在“描述”上，通过描述所要表达的对象，来达到交流的目的。那么数学这一语言描述的是什么呢?是通过怎样的方式来描述的呢?它到底是怎样一个体系呢?下面我逐层来回答这些问题，并相应地提出如何培养数学思维。

　　首先，数学是对客观实在的描述和总结。什么是数学?顾名思义，数学就是关于数的学问。数学描述的是客观的数量关系和空间位置关系。数学是对现实世界的一种数量描述，是对客观规律的一种抽象总结。所以第一步我们要在现实中、生活中去感知数学，体悟数学。也就是说，第一步，我们要形象地、直感地学数学。

　　小孩子认识世界一般通过直感，也就是直接形象地去感知世界，而不是分析。比如，我们问小孩子为什么怕火，他们会把烧伤的手伸出来，说烫。这是最直接的感觉。一般而言，小学生学数学主要也是通过直感来认知的。想想我们小时候，最初是怎么学数学的?小时候学1+2=3，怎么学呢?拿一个苹果，再添上两个苹果，数数是三个苹果。所以1+2=3。这都需要通过现实中的东西来感觉，来认知。记得我们小时候学算术，都是通过数手指头来帮助运算的。后来学的数大起来了，手指头不够用了，怎么办呢?我比较聪明，就捡了一堆小石子，一遇到算术问题就数石子。

　　通过直感来认识世界，是最原始的本能。甚至可以说是无师自通的。所以即使没有读过书的人，也懂得如何计算数的加减乘除。小学生学数学主要就是通过这种形象的、直感的方式学习数学的。现在我们已经是中学生了，相应地学数学的方法也有了改变。

　　我们知道，小学时候的数学主要还是和具体的数字打交道。到中学后，就脱离具体的数字，主要和抽象的字母和数学符号打交道了。中学数学的主体是代数和几何，而几何也主要是通过字母来表示和运算的。代数，顾名思义，也就是代替数字，用抽象的字母和符号来代替具体的数字。从这角度来看，我们能很清楚地看出中学数学和小学数学的本质区别之何在。很多人以为中学数学只是比小学数学多学了一些知识，实际并不然，小学数学到中学数学，最重要的并不是那些知识，而是思维方式的转变，从形象的直感思维向抽象的逻辑思维转变。

　　现在再计算1+2=3，我们当然不必再数手指头了，直接就可以得出答案。这一方面是因为计算经验很多，熟能生巧。另一方面，则是因为我们已经可以脱离直感来计算了，不必借助外界中具体的形象来思考，可以直接通过抽象的逻辑来运算。这时候就到了第二个层次，要抽象地、逻辑地看数学。

　　第二，数学是一个逻辑体系，是逻辑的代言，是通过逻辑的方式来描述客观实在的。去年我和浙大人文学院的教授余式厚老师合作，编写一套《逻辑达人》系列的图书，我们大概六七个人一天到晚地忙碌。我曾有诗记之。

　　诗书实腹酒实樽，

　　楼外寒冬楼内春。

　　梅凋鹤去寻无意，

　　家事国情两不闻。

　　其中我主要编写的一个分册就是《逻辑与数学的联姻》。为此我专门写了一篇文章《逻辑与数学的联姻》，来阐述逻辑与数学之间的关系。

　　《逻辑与数学的联姻》

　　数学，自来被认为是逻辑的代言。一种说法认为，一门学问能成为一门科学，必须有数学的介入。这个说法虽有些偏颇，但我认为确有其道理。

　　一般来说，学问分为两大类，一是科学，一是艺术。艺术源于想象，科学源于实践——

　　当然，艺术的想象是基于实践的想象，科学的实践也是基于想象的实践。一门

　　学问能成为一门科学，必须要对实践过程中发生的繁杂的现象作一个分类，从而进行概括、梳理、归纳，进而探索其本质原因。简而言之，一门学问科学化的过程，

　　就是实践化、抽象化、概念化、条理化、体系化的过程。在这一过程中，逻辑理所当然地发挥了不可替代的作用。所以，我认为“一门学问能成为一门科学，必须有

　　数学的介入”这一说法，实质上是“一门学问能成为一门科学，必须有逻辑的介入”。只有逻辑介入，我们才能对那些随机的、偶然的、表象的、繁复的现象，进行

　　分类、归纳、总结，从而实现人为的复制。到这时，一门学问才真正成为一门完整的、成熟的科学。对于人类而言，野蛮与文明的分野，恰是逻辑的开端。

　　人类自认识外界开始，就在进行量的探索，在数的领域中翱翔。所以有历史学家考证认

　　为，会计学是科学的开端。事实上，对于数与量的探索，离不开对现实现象的抽象、归纳、与总结;同样，没有数量提供的一片原始的、广阔的天地，抽象、归纳、

　　总结这些系统性的方法也难以大展拳脚，其威力也难以得到充分的发挥。简而

　　言之，离开了数学的逻辑，难以发挥其作用;离开了逻辑的数学，难以形成其体系。数学是逻辑的载体，逻辑是数学的精神。所以，我认为在数学与逻辑之间，存在

　　着一种互相促进、互相补充、互相成就，甚至互相表达、互相代言的关系。因此，数学也就水到渠成地被认为是逻辑的代言。也就理所当然地有了“一门学问能成为

　　一门科学，必须有数学的介入”这一说法。

　　以上的说法，绝对不是无稽之谈。一般认为，两千多年前成书于古希腊的《几何原本》

　　是数学的集大成之作，同时也是逻辑学应用的集大成之作。这是很早之前逻辑学与数学就已进行联姻的一个明证。包括美国总统林肯在内的千千万万的人，都是通过

　　学习《几何原本》来训练自己的逻辑思考能力的。

　　考虑到逻辑与数学的这种历史渊源与现实关系，在本套《逻辑达人》系列丛书中，我们特意编写了这本《逻辑与数学的联姻》，再次展现逻辑学与数学之间微妙的关系，以及两者融合后所散发出的无穷的魅力。

　　既然数学与逻辑之间有如此紧密的联系，我们就不能孤立地将它们分裂开来。我学数学是非常注重数学的逻辑性的。在逻辑上能将数学融会贯通后，再随心所欲地发

　　挥数学的创造性，这是学习数学的正途。据我自己总结，我学数学的方法就是我所说的“三化方法”：概念的抽象化、思维的条理化、逻辑的体系化。其中概念是对

　　思考对象的抽象总结，是逻辑赖以存在的根基，可以说没有概念就没有逻辑，所以我们要深入地、抽象地去理解概念，而不能流于直观和表面。我曾写过一篇《我的

　　逻辑观》简述我对逻辑的思考：

　　《我的逻辑观》

　　去年冬天在余式厚老师处编写《逻辑达人》系列丛书。我们大概六七个人一天到晚地忙碌。我曾有诗记之。

　　诗书实腹酒实樽，

　　楼外寒冬楼内春。

　　梅凋鹤去寻无意，

　　家事国情两不闻。

　　因为我的数学功底不错，便主要负责编写《数学与逻辑的联姻》这一分部，整天埋首于

　　逻辑问题和数学问题，间或帮着答疑解惑。我是以数学和逻辑立足根基的，不敢自夸有成，亦小有所得。我的逻辑学不是来自于书本或其他人的教授，纯粹是我自己

　　从数学的学习与思考中体悟、总结来的，是数学的副产品，是我自己的

　　逻辑学。虽不博大精深，但还算切实有用。这里我并不想过多地谈逻辑，因我未系统学过逻辑学，也或有误导读者之嫌。所以这里只是简单介绍一下我的逻辑观。

　　我认为逻辑只是定义与性质、性质与定义，定义与定义、性质与性质之间的等价或包含

　　关系。欲有逻辑，必先有定义，也必先有性质，然后则逻辑自然生成。所谓定义，就是对某一思考对象的人为的抽象总结，抽象出其最基本、最本质的性质，这一性

　　质与这一定义完全成最简等价关系。所谓最简等价，便是没有、也不需

　　要多余的条件，两者独立互为充分必要条件的关系。这一定义便表示这一性质，这一性质也便等同这一定义，两者之间完全划等号。例如我们讲平行四边形，何为平

　　行四边形的定义?有人说两组对边分别平行、两组对边分别相等，两组对角分别相等、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。这便错了，因为这不是最简等价

　　关系，而是把定义与性质乱糟糟混合在一起，不明所以。事实上平行四边形的定义只是“两组对边分别平行的四边形”。一个四边形是“平行四边形”，便表示“两

　　组对边分别平行”，一个四边形“两组对边分别平行”，便表示它是“平行四边形”。对于四边形而言，“平行四边形”与“两组对边分别平行”两者之间完全划等

　　号。其它的诸如两组对边分别相等、两组对角分别相等、两条对角线互相平分，都是在这一定义的基础上通过逻辑推导出来的，只是它的衍生性质——当然可以证明

　　它们也都是等价的。

　　定义从何而来?定义来自于概念。所谓概念便是人们对事物本身的认识，我字面理解一

　　下，就是人对事物本身概括地思考它是什么。简单来说，我认为概念就是没完全脱离实体存在的、不成熟的定义。概念来自于哪里?我认为概念来自于常识。所谓常

　　识，便是人们对思考对象经过积累的、直接的、实践性的、感觉性的认

　　识。另外补充一下，我认为逻辑赖以存在的公理、公设也是对常识的抽象总结。所以我认为，逻辑是常识的抽象影像，或说逻辑只是常识的另一种抽象的表述形式。

　　逻辑与常识经常表现出高度的一致，原因也在于此。其实日常生活中，很多人都是把逻辑与常识混为一谈了，错把常识当逻辑。举例来说，如果我说因为今天阴天，

　　所以今天不会下雨。别人会说我说话不合逻辑。事实上，这句话无干逻辑，只是不合常识。对于一般人来说，是常识告诉我们阴天往往会下雨，而不是逻辑。那么怎

　　么才关系到逻辑呢?如果我们给“阴天”和“下雨”下个定义，便是逻辑的问题了。比如，我们定义“阴天”为“由于天空中水滴很多而凝聚成云，从而引起的一种

　　阳光很少或不能透过云层,

　　天色阴暗的天空状况”，定义“下雨”为“空气中凝结的小水滴从天空中落下来”。那么“阴天往往会下雨”便是一个逻辑问题了。“阴天”表示“空气中小水滴很

　　多”，“小水滴很多”则“凝结起来降下来”的概率就很大，这便是往往会“下雨”了。

　　理清了逻辑与定义的关系，理清了逻辑与常识的区别，然后才能逐步理解何谓逻辑，在此基础上才能最好地、准确地运用逻辑。脱离了常识谈逻辑，基本上只是做做头脑游戏，没多大意义。

　　记得在余老师处，每天都是我们自己烧菜，洗洁精用得很快。有一次余老师一次性购买了三瓶洗洁精，一位女生问他为何不买桶装洗洁精。余老师愕然问道：“洗洁精有桶装的么?”我笑道：“余老师，您逻辑学虽然好，可是只有逻辑是不够的，还需要常识。”满屋哄然大笑。

　　其实对于生活而言，只有逻辑和常识还是不够的，这两者只是人们对身外的认识，另外

　　还需要对心内的诉求，这便是信念。信念无干逻辑，无干常识，无需经过理性的审查，只是一个“信”字，所谓“信则灵”。然而我们不能因为信念无需经过理性的

　　审查，便说信念不理性。事实上经过优胜劣汰的选择，信念与理性是呈现高度一致性的——虽然并不完全一致。

　　我一直用逻辑体系安排自己的生活，最终却发现了两个互相矛盾的公设。自由与责任，难矣哉两全。其中的协调与取舍实在令人头疼。单纯的逻辑是没有意义的，还需要信念与常识。纵使逻辑不能帮我解决所有问题，我还有理性。当然，偶尔也可以借鉴一下随机体系。

　　基于以上所说，第二步，我们要抽象地、逻辑地学数学。这是中学必须要完成的一个培养。至于怎么学呢?我有以下三个总结：

　　(一)加深对概念与公理的理解，从抽象、逻辑上理解，而不能流于直观化、表面化(而这正是大多数学生的问题所在);

　　(二)学会对概念与公理的运用，并融入潜意识，形成本能。一切问题都回归到基本的概念与公理，并从概念与公理出发进行逻辑推导。我认为这将会培养学生深刻理解问题本质，从基本假设出发建立理论体系的能力，对学生日后的发展将有不可估量的影响;

　　(三)强化思维训练，加强思维的灵活与开阔，打破僵化的思维模式，学会正确的思考方法。以我的经验，我认为，多思考、分析趣题、难题，并思考其之思考，是比较有效的方法。

　　最后，数学就是一套思维方法，是沟通形象与抽象的一座桥梁。数学要培

　　养的就是能够从直观的、具体的形象中抽象出逻辑概念，又能够把抽象的概念翻译成直观的、具体的形象，但是又不是简单地等同于直观对象的能力。我所看到的数

　　学家大部分都是这样的，在他们眼中，抽象的概念本身就像是直观可以感知的东西。(当然也有一些代数学家能够直接地进行抽象的思考)。这是思维的高级阶段，

　　已经是形象思维和抽象思维完全融为一体，无所谓形象还是抽象了。

　　通过以上叙述，我们可以看出，小学阶段，我们主要通过形象、直感的思维方式学数学，并逐渐通过形象、直感的方式，培养抽象的、逻辑的思维方式。中学阶段

　　——包括初中和高中——则主要培养并加强抽象的、逻辑的思维，并逐步完成逻辑的概念化、条理化和体系化。如果大学还要就一步深修数学，则还要培养将形象、

　　直感的思维与抽象的、逻辑的思维通汇贯通，融为一体的化合思维。也即是我所说的，抽象之抽象，谓之悟。这时则可以体现出数学的创造性和思想性。

　　以上所谈思维的三个阶段，就像人生的三重境界，第一境界，看山是山，看水是水;第二境界，看山不是山，看水不是水;第三境界，看山还只是山，看水还只是

　　水。小孩子的形象的直感思维，就是第一境界，看山是山，看水是水。中学要培养的抽象的逻辑思维，是第二境界，看山不是山，看水不是水。再然后才是第三境

　　界，看山还只是山，看水还只是水。这时形象的直感思维和抽象的逻辑思维已经融为一体了，分不清彼此。这是思维的最高层境界。